已知抛物线Y=ax^2+bx+c与Y轴交于点A（0，3），与X轴分别交于B（1，0），C（5，0）两点

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 09:45:17
已知抛物线Y=ax^2+bx+c与Y轴交于点A（0，3），与X轴分别交于B（1，0），C（5，0）两点
（1）求此抛物线的表达式
（2）若D为线段OA的中点M出发。先到达X轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求这个最短总路径长。

解：1. 抛物线Y=ax^2+bx+c与Y轴交于点A（0，3），所以c=3
又因为与X轴分别交于B（1，0），C（5，0）两点，则令ax^2+bx+3=0
则1，5是ax^2+bx+3=0的两根
所以a+b+3=0，25 a+5b+3=0
解得a=3/5，b=-18/5
即抛物线的表达式为：Y=3/5x^2-18/5x+3
2.对称轴X0=3，要求最短，我们可以分别求最短
当AF平行于X轴时，AF为最短，此时F点为（3，3）
作F关于与X轴对称点F′（3，-3），连接MF′交于X轴E点，连接EF，
则ME+EF此时最短，KME=-3/2
即直线ME的方程为Y=-3/2x+3/2，令Y=0，则x=1
所以E点坐标为（1，0）
设总路径长为L
即L=ME+EF+AF= MF′+ AF=√[3²+（-3-3/2）²]+3=3/2√22 +3

解：（1）根据题意，c=3，
所以

a+b+3=0
25a+5b+3=0
解得

a=3/5
b=-18/5

所以抛物线解析式为y=3/5x2-18/5x+3．

（2）如图，由题意，可得M（0，3/2）．
点M关于x轴的对称
点为M′（0，-3/2），

点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'（6，3）．
连接A'M'．
根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长．（5分）
所以A'M'与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点．
可求得直线A'M'的解析式为y=

3/4 x-3/2 ．可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，3/4）．（7分）
由勾股定理可求出A′M′=15 /2 ．所以点P运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为15/2